El cristal del infinito y la biblioteca de Babel

En una de mis múltiples expediciones en las profundidades del laberinto encontré, en un receso oculto de una caverna con pocas muestras de tránsito, un cristal singular. Aunque el laberinto es un espacio mental, algunos conceptos especialmente abstractos pueden cristalizar en formas más sencillas de compresión, si acaso mostrando solo una perspectiva de ese concepto. Pude entender que este cristal representaba el concepto del "infinito", y su forma era cambiante según el punto de vista del observador y la iluminación, pero siempre representando el patrón de un ciclo que se repite sin cesar.

El cristal desapareció poco después de mi descubrimiento, dado que este tipo de proyecciones débiles de conceptos más elevados suelen ser efímeras. Pero el haber registrado en esta nota tal encuentro es un buen pretexto para profundizar en el concepto del infinito.

En primer lugar, no puedo negar que mi descripción inicial del laberinto, aunque coherente con mis experiencias, es también subjetiva debido a esas mismas experiencias. Este hecho es cierto para cualquier explorador del laberinto, y aunque en las salas más pobladas estas experiencias tienden a ser uniformes, no son así en sus regiones más remotas. La propia existencia y localización de las fronteras del laberinto es un acalorado sujeto de debate tras cualquier expedición, dado que el marco subjetivo de cada uno condiciona el grado de novedad con el que se observan las ideas, y porque el propio laberinto se expande cada vez que una frontera es alcanzada. Es por ello que resulta necesario explicar en estas notas la influencia que en mi mente ha provocado que el laberinto tome esta forma tan particular: el cuento "La biblioteca de Babel", de Jorge Luis Borges.

Este cuento es sumamente inspirador, tanto por su concepción del infinito y del lenguaje humano, como por la sociedad de bibliotecarios que en ella habitan, y sus obsesiones provocadas por la estructura de esta biblioteca. Dado que no es mi intención mancillar la obra del maestro Borges, en esta nota me centraré en analizar la estructura de la biblioteca de Babel.

La biblioteca de Babel es un universo en sí mismo, que siempre ha existido y existirá, y que contiene cualquier libro que pudiera llegar a ser escrito. No obstante, se imponen una serie de limitaciones al contenido de estos libros, véanse:

• Cada libro contiene exactamente 410 páginas
• Cada página está formada por exactamente 40 renglones
• Cada renglón contiene exactamente exactamente 80 letras
• Cada una de esas letras pertenece a un alfabeto de únicamente 25 símbolos: el espacio, el punto, la coma, y 22 letras.
  

La mera existencia de estos números es relevante, pues aunque a priori pudiéramos pensar que el conjunto de libros que pudieran existir es infinito, deja de serlo al tener en cuenta estas restricciones. En particular, podemos calcular el número posible de libros empleando argumentos básicos de combinatoria, de la siguiente manera:

• En cada libro existe espacio para tantas letras como quepan en todas sus páginas y renglones, esto es: $410$ páginas $ \cdot 40$ renglones $ \cdot 80$ letras $ = 1312000$ letras
• En cada espacio donde pudiera haber una letra, podemos escoger un símbolo cualquiera de los 25 elementos del alfabeto. Eso significa que tenemos 25 posibilidades para la primera letra del libro, otras 25 posibilidades para la seguna, otras tantas 25 para la tercera... según las leyes de la combinatoria, el número total de combinaciones será $25 \cdot 25 \cdot 25 \ldots$, tantas veces como espacios disponibles tenemos.

En resumidas cuentas, existen $25^{1312000}$ formas de configurar las letras en libros de este tamaño y con este alfabeto; dicho de otra forma, $25^{1312000}$ es el número de libros posibles en la biblioteca de Babel. Esta cifra es totalmente desorbitante: haciendo los cálculos adecuados podemos encontrar que tal número es aproximadamente equivalente a $1956 \cdot 10^{1834094}$, o lo que es lo mismo, el número 1956 seguido de 1834094 ceros. Esta clase de magnitudes se escapan a nuestra capacidad de comprensión, pero baste la siguiente cifra para ponerla en contexto: se estima que el número de átomos existentes en el universo observable es de $10^{80}$. Esto es, el número de libros en la biblioteca de Babel es $1956 \cdot 10^{1834012}$ veces superior. Esta comparación demuestra la total y absoluta imposibilidad de construir tal biblioteca en nuestro universo, puesto que ni con trillones de universos como el nuestro contaríamos con materia suficiente para tal obra.

Aunque cifras de tan inmensidad pudieran acobardar a cualquiera, he aquí un hecho notable que ha de tenerse en cuenta: la biblioteca de Babel existe, en su total completitud, dentro del laberinto.

Tal afirmación es fácilmente demostrable: dado que el laberinto alberga conceptos y existe en el espacio mental, no está limitado a la materia disponible, pudiendo acomodar sin problemas el concepto de la biblioteca desde el mismo momento en el que el maestro Borges la descubrió en una frontera. Desde entonces muchos otros la han recorrido reflexionando sobre las implicaciones de su existencia, contándome yo mismo entre ellos.

Un hecho sorprendente para los exploradores nobeles es que los mismos conceptos pueden existir innumerables veces en el laberinto, representados de formas diferentes. Un ejemplo de particular relevancia es la sala de Mandelbrot, la cual contiene un lienzo con una propiedad extraordinaria: su resolución es ilimitada. No importa cuán potente sea la lupa o microscopio utilizada, se seguirán observando coloreados y curvas perfectamente delineadas. El dibujo se retuerce en detalles más y más complejos a medida que se profundiza en él, hasta que se vuelve a observar la misma forma que en la vista general del lienzo. Y así, este patrón geométrico se repite indefinidamente.

Imagen extraída de Wikipedia

En una pequeña cámara adyacente a esta se encontró una inscripción que contiene al propio lienzo de forma completa, salvo que en otra forma. Esta inscripción reza:

• Tómese un número complejo $c = x+ yi$, que represente las posiciones $x$ e $y$ del lienzo que quieren examinarse.
  
• Tómese el número de partida $z_0 = 0$
• Repítase el siguiente cálculo de forma infinita: $z_{n+1} = z_n^2 + c$
• Si para ningún $n$ se tiene que el valor absoluto de $z_n$ es mayor que 2 (esto es, $|z_n| > 2$), esa posición del cuadro tomará el color negro.
• Para el resto de casos, anótese cuántos pasos $n$ fueron requeridos para conseguir que $|z_n| > 2$. Este $n$ indicará el color concreto que tomará el cuadro en esa posición, empleando colores más cálidos para valores pequeños de $n$, y valores más oscuros y tendentes al negro para valores grandes de $n$.
  

De esta forma, este pequeño algoritmo o receta contiene todo lo necesario para crear el lienzo de resolución infinita. Esto nos lleva a la revelación principal de esta nota: que existen entidades infinitas que no son sino la expresión de un concepto finito y mucho más simple. Estos conceptos capaces de generar estructuras ilimitadas son atesorados por un particular clan de exploradores del laberinto: los matemágicos. Con inagotable interés, estos aventureros persiguen y valoran la belleza que radica en la creación de conceptos sistemas complejos mediante rituales simples.

 

Otro lugar del laberinto que cumple estas intrigantes propiedades es el pasaje de Zenón. Este se presenta como una cámara abovedada de dimensiones que no han podido ser confirmadas con precisión, y una altura y profundidad tales que albergan su propio ecosistema de nubes. Cruzando esta sala puede encontrarse un puente de longitud difícil de precisar, pues parece fundirse siempre con el horizonte sin importar cuánto caminemos. No obstante, en expediciones posteriores se ha podido alcanzar el otro lado del puente siguiendo un desvío a través de una sala anexa, que permite llegar al mismo punto requiriendo tan solo unos minutos de marcha.

 

 

Esta sala del laberinto apareció al enunciar el maestro Zenón una de sus paradojas, en la que un concepto que de forma natural se nos presenta como sencillo puede ser representado como un conjunto infinito de elementos. Se trata de la paradoja de la dicotomía.

 

Imagen extraída de Wikipedia

En la paradoja, el maestro Homero está recorriendo un camino. Para llegar al final del mismo, debe seguir el siguiente procedimiento:

• Recorre la mitad del camino ($\frac{1}{2}$), por lo que aún le queda la otra mitad por recorrer ($\frac{1}{2}$).
• Del trecho de camino restante recorre su primera mitad ($\frac{1}{4}$), habiendo recorrido ya en total tres cuartas partes del camino ($\frac{3}{4}$) y quedándole por tanto una cuarta parte ($\frac{1}{4}$).
• De nuevo, del camino restante recorre la mitad ($\frac{1}{8}$), habiendo recorrido ya en total $\frac{7}{8}$ del camino, y quedándole $\frac{1}{8}$.
• Este proceso se repite de forma infinita, puesto que no importa cuánto camino quede por recorrer, siempre podrá dividirse por la mitad y aún quedará algo más de camino por completar.

La conclusión de la paradoja sería que, en contra de nuestra intuición natural, el movimiento es imposible, ya que bajo este análisis nunca llegaríamos a completar ningún recorrido. Se cuenta que en el momento de la presentación de esta paradoja, Diógenes el Cínico, haciendo honor a su nombre, se levantó y se marchó, demostrando así que el movimiento es posible. No obstante, en mayor rigor puede desmontarse esta aparente paradoja mediante el uso del cálculo infinitesimal:

$$\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1$$

La revelación fundamental, que era desconocida por los exploradores de la época, es que una suma de infinitos elementos puede dar lugar a un valor finito. En este caso, que la suma de todos los tramos recorridos es la longitud total del camino, $1$, y no importa que este camino se descomponga en una cantidad infinita de segmentos. De nuevo nos encontramos un mismo concepto que puede presentarse como algo sencillo o como una estructura infinita.

Volviendo ahora sobre nuestros pasos, la biblioteca de Babel, aunque no infinita, también es susceptible de ser reducida a una expresión mínima. Un libro cualquiera de la biblioteca puede generarse con la siguiente receta, que fue hallada por otro explorador:

• Itérese sobre cada página $p=1 \ldots 410$, renglón $r =1 \ldots 40$ y letra $l = 1 \ldots 80$ 
• Para cada posición del libro $x_{p, r, l}$ escójase un caracter aleatorio del alfabeto $\alpha$ de 25 símbolos. Esto es, $x_{p, r, l} = random(\alpha)$

De este modo, la ejecución de un ritual sencillo permite generar cualquier libro de entre los disponibles en una biblioteca tan grande que no cabría en el universo físico. Este ritual puede realizarse manualmente por parte de un matemágico iniciado, o ejecutado por uno de sus autómatas, que en una de sus lenguas podría escribirse como:

import random

alphabet = [

    'a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h', 'i', 'l',

    'm', 'n', 'o', 'p', 'q', 'r', 's', 't', 'u', 'v',

    'x', 'y', ' ', '.', ','

]

PAGES = 410

LINES = 40

LETTERS = 80

for page in range(PAGES):

    for line in range(LINES):

        print("".join(random.choices(alphabet, k=LETTERS)))

    print("")

Como muestra de que el ritual funciona, transcribo aquí la primera página de uno de los libros de la biblioteca recuperados a través de un autómata que encontré abandonado, pero funcional y dedicado eternamente a esta tarea:

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El significado de esta página, como el de la abrumadora mayoría de los textos de la biblioteca, resulta imposible de interpretar.

Tras esta demostración cabría preguntarse, entonces, cuál es la propiedad que permite comprimir conceptos de tal envergadura como la biblioteca, e incluso infinitos, en unas meras reglas o hasta un único número. Mi particular tesis es que el ingrediente fundamental es la cantidad de información que tales conceptos poseen. A saber:

• La paradoja de Zenón no es tal, puesto que su hecho fundamental es que se recorre un camino de extremo a extremo. Complicar este hecho mediante su división en un número infinito de recorridos no cambia su esencia simple.
  
• El lienzo de Mandelbrot, a pesar de contar con resolución infinita, contiene unos patrones básicos que se repiten incesantemente. Basta pues con destilar la esencia de estos patrones.
  
• La biblioteca de Babel, aunque cuente con todos los libros posibles, está vacía de información, más allá de su propia estructura de páginas, renglones y símbolos.

Dado que este último punto puede parecer una nueva paradoja, me extenderé un poco más. No es evidente reconocer que el todo no es sino la otra cara de la moneda de la nada. La biblioteca contiene todos los libros posibles dentro de una longitud y juego de caracteres definido... pero precisamente por ello resulta imposible en la práctica encontrar un libro de valor en ella. Las bibliotecas del mundo físico son valiosas porque de entre todos los libros posibles, solo contienen una pequeña selección. Así como el maestro Miguel Ángel creaba sus esculturas "extrayendo el alma" que existía en los bloques de mármol y eliminando lo que sobraba, un escritor escoge cuidadosamente aquella configuración de símbolos que ordenados en el libro transmiten un mensaje, una historia: la narración de su propia experiencia en el laberinto.

El poco es mucho más valioso que el todo, porque tenerlo todo en el mundo es equivalente a no tener nada. Y puede que este sea, al nivel más alto de abstracción que he llegado a vislumbrar, el significado del patrón circular del infinito, donde los extremos son la misma cosa.

"When everything changes, nothing changes"
Transistor

(Nota: todas las imágenes de este post han sido creadas usando DALL·E 2, exceptuando las que indican su referencia)